Escolha do modelo

Após a definição do tema e a coleta parcial de dados realizada na semana passada, chegou a hora de definir o modelo que será empregado no processo de modelagem. Dentre os principais modelos, como por exemplo, o modelo Wonderland e o NSI, decidimos por utilizar o modelo SIR proposto pro Kermack e McKendrick em 1927. Sua escolha se deve ao fato de apesar de ser um modelo simplório, este se adapta muito bem ao tema proposto, além de ter uma simples implementação o que resulta em um tempo maior para a análise fazendo com que esta fique mais concreta. Abaixo será feita a descrição da aplicação do modelo conforme foi desenvolvida pelos seus criadores.

A aplicação do modelo SIR (Suscetíveis, infectados, recuperados), consiste em dividir a população N(t) em classes diferentes. Cada uma dessas classes, indica o risco atual que se encontram cada um dos indivíduos pertencentes a ela, visto que um indivíduo pode ocupar apenas uma dessas parcelas por vez. No modelo SIR, os indivíduos são divididos nas seguintes classes:

● S(t): indivíduos suscetíveis.

● I(t): indivíduos infectados.

● R(t): indivíduos que são resistentes a doença.

Para modelar as interações entre os compartimentos, é preciso assumir as seguintes hipóteses:

● Todos os indivíduos nascem suscetíveis.

● O tamanho da população N é constante. Isto significa que a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade µ da população são iguais.

● A interação entre as populações dos compartimentos se dá de forma homogênea; 4. Os indivíduos recuperados ficam imunes por toda a vida.

● A população está isolada, isto é, não possui contato com membros de outras populações.

● A taxa de letalidade da doença é nula.

Sendo S(t) o número de indivíduos suscetíveis no tempo t, temos que a cada tempo S(t) recebe µN indivíduos devido ao nascimento de novas pessoas e perde µS(t) devido a morte dos indivíduos presentes nesse compartimento. Ainda, indivíduos suscetíveis são infectados a uma taxa de infecção λ(t), isto é, o grupo dos indivíduos infectados I(t) recebe λ(t)S(t) indivíduos devido a infecção de indivíduos suscetíveis pela doença. Também, a população de indivíduos infectados perderá µI(t) indivíduos referente a mortalidade da população e γI(t) indivíduos pela taxa, γ, de recuperação da doença. Sendo assim, os indivíduos recuperados passarão para a população R(t) de indivíduos recuperados, que também sofre o efeito da mortalidade perdendo γR(t) pessoas.

Matematicamente, as interações entre as classes do modelo SIR considerando as hipóteses 1-6 pode ser modelada pelo sistema;

com S(t) + I(t) + R(t) = N.

A taxa de vacinação v representa o efeito conjunto (i) da aplicação de vacinas em uma proporção da população e (ii) da eficiência da vacina, que gera imunidade em uma proporção dos indivíduos vacinados

Os pontos fixos passam a ser:

A análise de estabilidade dos pontos de equilíbrio nos dá que: se β < γ+µ 1−v então P1 é estável e P2 é instável e se β > γ+µ 1−p então P2 é estável e P1 é instável. Sendo assim, obtemos um valor limiar, v ∗ , para a taxa de vacinação, na qual para v > v∗ a doença extinguirá da população. O modelo SIR é uma importante ferramenta matemática para estudo de doenças, porém não é adequado nem realista quando pretende-se obter respostas sobre situações mais complexas. É necessários, portanto, incluir algumas heterogeneidades que notadamente influenciam o processo de transmissão de doenças infecciosas. Uma maneira de tornar o modelo compartimental SIR mais próximo da realidade é incluir uma estrutura etária para a população hospedeira.

REFERÊNCIAS: 1- CRISTOVÃO, Rafael Belmiro. ”Modelo SIR: Uma Aplicação à Hepatite A”. Trabalho de conclusão (Bacharel em Matemática). Universidade de São Paulo, USP, São Paulo, 2015.

2- JOHNSON, Teri, “Mathematical Modeling of Diseases: Susceptible-Infected-Recovered (SIR) Model”. Senior Seminar. University of Minnesota, Morris Spring, 2009.